Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD＝4, BD＝，AB＝2CD＝8.

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

（1）对于面面垂直的证明，主要是利用线面垂直来结合判定定理得到。
（2）24

试题分析：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD＝4, BD＝,

AB＝8，∴．                   2分
∴ AD⊥BD又 ∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，    4分
∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD， 
∴平面MBD⊥平面PAD.                         7分
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P－ABCD的高.     8分
又 ∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴.
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高． 12分∴梯形ABCD的面积故  14分
点评：解决的关键是通过面面垂直的判定定理，以及棱锥的体积公式来得到，属于基础题。