【题目】数列满足对任意的恒成立,为其前项的和,且.
(1)求数列的通项;
(2)数列满足,其中.
①证明:数列为等比数列;
②求集合.
【答案】(1) (2) ①见证明;②
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.根据a4=4,前8项和S8=36.可得数列{an}的通项公式;
(2)①设数列{bn}前n项的和为Bn.根据bn=Bn﹣Bn﹣1,数列{bn}满足.建立关系即可求解;
②由,得,即.记,由①得,,
由,得cm=3cp>cp,所以m<p;设t=p﹣m(m,p,t∈N*),由,得.
讨论整数成立情况即可;
(1)设等差数列的公差为,因为等差数列满足,前8项和
,解得
所以数列的通项公式为
(2)①设数列的前项和为,由(1)及 得
上两式相减,得到
=
所以
又,所以,满足上式,
所以
当时,
两式相减,得, ,
所以 所以此数列为首项为1,公比为2的等比数列.
②由,得,即,∴.
令,显然,此时变为,即,
当时,,不符合题意;
当时,,符合题意,此时;
当时,,不符合题意;
当时,,不符合题意;
当时,,不符合题意;
下证当,时,方程:
∵
∴
∴,显然,从而
当,时,方程没有正整数解.
综上所述:.
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【题目】设命题p:实数m满足使方程1,其中a>0为双曲线:命题q:实数m满足.
(1)若a=1且p∧q为真,求实数m的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】某校为研究学生语言学科的学习情况,现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001,002,…,200,采用系统抽样的方法等距抽取10名学生,将10名学生的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下:
(Ⅰ)若第一段抽取的学生编号是006,写出第五段抽取的学生编号;
(Ⅱ)在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈,求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率;
(Ⅲ)根据折线图,比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩,写出你的结论和理由.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为,点是椭圆上的一个动点,当直线的斜率等于时,轴.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线与直线相交于点,试判断以为直径的圆是否过轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
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【题目】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(2,y0)为抛物线上一点,且|AF|=4.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若,其中O为坐标原点,求m的值.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的一个焦点重合,过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)记抛物线C的准线与x轴的交点为N,试问是否存在常数λ∈R,使得且都成立?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.
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