Question

设是1，2，…，的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）。如：在排列中，5的顺序数为1，3的顺序数为0。则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列种数为（ ）

A．48

B．96

C．144

D．192

Answer 1

C

试题分析：由于8是最大的数,8的顺序数为2,说明8排在第3位,如下所示
(),(),8,(),(),(),(),()
7仅次于8,且7的顺序数为3,所以7只能排在第5位,如下所示
(),(),8,(),7,(),(),()
5的顺序数为3,但是还有一个比5大的6的位置没有确定
假如6排在5的右边,那么排在第一,二,四位的3个数肯定比5小,所以5排在第6位
(),(),8,(),7,5,(),()
在这种情况下6可以排在第七或第八的位置,剩下的数可以全排列插入剩下的空中,
所以种数为 24!=48
假如6排在5的右边,那么5排在第七位
(),(),8,(),7,(),5,()
在这种情况下6可以排在第一,二,四,六的位置,剩下的数可以全排列插入剩下的空中,
所以种数为 44!=96，所以总数为48+96=144
点评：对于比较复杂的排列组合试题，一般要合理的分情况来讨论，进而结合分步乘法计数原理来得到各种情况下的结果，然后根据分类加法计数原理得到最终的结论，属于难度试题。另解就是：在确定7,8的位置以后 (),(),8,(),7,(),(),()，由于6没有限制,随便填入有6种可能，当6填入以后,5的位置也唯一确定了,剩下的4个数全排列，所以是 64!=144