Question

已知A，B两地相距200km，一只船从A地逆流行驶到B地，水流速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h，（8＜v≤20），若船每小时的燃料费与在静水中的速度的平方成正比，当v=12km/h时，每小时燃料费为720元．
（1）设船每小时的燃料费为L，求L与v的关系式；
（2）为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

Answer 1

分析：（1）设出正比例函数L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L与v的关系式；
（2）确定函数解析式，利用导数，确定函数的极值，即为最值，从而可得结论．

解答：解：（1）设L=kv²，其中k为比例系数
由已知条件，将v=12，L=720代入，得到k=

720

122

=5…2
所以L=5v²   （8＜v≤20）…3
（2）设全程的燃料费为y，则船每小时的燃料费为5v²，从A地到B地的时间为

200

v-8

故y=5v²×

200

v-8

=

1000v2

v-8

（8＜v≤20）…5
∴y′=

1000v2-16000v

(v-8)2

…6
令y'=0解得v=0（舍去）或v=16…7
v∈（8，16）时，y′＜0，v∈（16，20）时，y′＞0
∴v=16时，y取得最小值     …9
∴为了使全程的燃料费最省，船的实际速度应为16km/h．…10

点评：本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．