Question

已知函数f（x）=x²+3x，数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=2（a_n-1），n∈N*}，等差数列{b_n}的任一项b_n∈A∩B，其中b₁是A∩B中最的小数，且88＜b₈＜93，求{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足c_n+2-c_n=a₁，且c₁=c，c₂=a₂-c，若数列{c_n}为单调递增数列，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+3x的图象上，∴．
当n≥2时，，
当n=1时，a₁=S₁=4，也满足上式．
故a_n=2n+2．
（2）∵A={x|x=2n+2，n∈N^*}，B={x|x=4n+2，n∈N^*}，∴A∩B=B，
又∵b_n∈A∩B，∴b_n∈B即数列{b_n}的公差是4 的倍数
又A∩B中的最小数为6，∴b₁=6，∴b₈=4k+6，k∈N^*，
又∵88＜b₈＜93
∴，解得k=21．
设等差数列{b_n}的公差为d，由b₈=6+7d=90得d=12
故b_n=12n-6
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即数列{c_2k-1}和{c_2k}分别是以c₁=c，c₂=6-c为首项，4为公差的等差数列
所以c_2k-1=c+4k-4，c_2k=c₂+4（k-1）=4k-c+2，c_2k+1=4k+c
∵数列{c_n}是单调递增数列，∴c_2k-1＜c_2k＜c_2k+1对任意的k∈N^*成立．
∴，解得1＜c＜3
∴实数c的取值范围是1＜c＜3
分析：（1）根据点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+3x的图象上，可得，再写一式，两式相减，结合n=1时，a₁=S₁=4，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先确定数列{b_n}的公差是4 的倍数，根据A∩B中的最小数为6，可得b₈=4k+6，利用88＜b₈＜93，可得k的值，进而可求等差数列{b_n}的公差，从而可得{b_n}的通项公式；
（3）由a_n=2n+2知c_n+2-c_n=4，即数列{c_2k-1}和{c_2k}分别是以c₁=c，c₂=6-c为首项，4为公差的等差数列，利用数列{c_n}是单调递增数列，建立不等式，即可求得实数c的取值范围．
点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．