分析 (1)求出函数g(x),利用辅助角公式化简,即可求函数g(x)的值域;
(2)求出y=|cos(ωx+$\frac{π}{6}$)|•f(sin(ωx+$\frac{π}{6}$))(ω>0)的单调递增区间为$[\frac{6k-2}{3ω}π,\frac{6k+1}{3ω}π]$,k∈Z,利用函数y=|cos(ωx+$\frac{π}{6}$)|•f(sin(ωx+$\frac{π}{6}$))(ω>0)在区间[$\frac{π}{3}$,π]上为增函数,求实数ω的取值范围.
解答 解:(1)$f(sinx)=\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}=\sqrt{\frac{{{{(1+sinx)}^2}}}{{{{cos}^2}x}}}=\frac{1+sinx}{|cosx|}$,∵$x∈(π,\frac{7π}{12})$
∴$f(sinx)=-\frac{1+sinx}{cosx}$,∴cosx•f(sinx)=-1-sinx
同理sinx•f(cosx)=-1-cosx,∴$g(x)=-sinx+cosx=\sqrt{2}cos(x+\frac{π}{4})$
∵$x∈(π,\frac{7π}{12})$,∴$x+\frac{π}{4}∈(\frac{5π}{4},\frac{5π}{3})$,∴$cos(x+\frac{π}{4})∈(-\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{1}{2})$
∴$g(x)∈(-1,\frac{{\sqrt{2}}}{2})$
(2)由(1)$y=|cos(ωx+\frac{π}{6})|•\frac{{1+sin(ωx+\frac{π}{6})}}{{|cos(ωx+\frac{π}{6})|}}=sin(ωx+\frac{π}{6})+1$
∵$π-\frac{π}{3}≤\frac{T}{2}$,$T=\frac{2π}{ω}$,∴$0<ω≤\frac{3}{2}$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤ωx+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$,k∈Z;解之得$\frac{6k-2}{3ω}π≤x≤\frac{6k+1}{3ω}π$,k∈Z
则y=|cos(ωx+$\frac{π}{6}$)|•f(sin(ωx+$\frac{π}{6}$))(ω>0)的单调递增区间为$[\frac{6k-2}{3ω}π,\frac{6k+1}{3ω}π]$,k∈Z,
由已知函数y=|cos(ωx+$\frac{π}{6}$)|•f(sin(ωx+$\frac{π}{6}$))(ω>0)在区间[$\frac{π}{3}$,π]上为增函数,
解之得$6k-2≤ω≤\frac{6k+1}{3}$,
∵$0<ω≤\frac{3}{2}$,∴k=0,∴$0<ω≤\frac{1}{3}$.
点评 本题主要考查三角函数的恒等变换,利用y=Asin(ωx+∅)的图象特征性质的应用,体现了数形结合以及等价转化的数学思想,属于中档题.
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A. | 1+$\sqrt{2}$ | B. | 2+2$\sqrt{2}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | 2+$\sqrt{2}$ |
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A. | 26+4$\sqrt{2}$ | B. | 27+4$\sqrt{2}$ | C. | 34+4$\sqrt{2}$ | D. | 17+4$\sqrt{2}$ |
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A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 4$\sqrt{2}$ |
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A. | $\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-16π | B. | $\frac{{160\sqrt{5}π}}{3}$-16π | C. | $\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-8π | D. | $\frac{32π}{3}$ |
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A. | -$\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | -$\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{4}$ |
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