Question

已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ⁺¹+b、T_n为数列{b_n}的前n项的和．且
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）找出所有满足：a_n+b_n+8=0的自然数n的值（不必证明）；
（3）若不等式S_n+b_n+k≥0对于任意的n∈N*．n≥2恒成立，求实数k的最小值，并求出此时相应的n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得：，解得S_n=2ⁿ⁺¹-2，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，由此推导出{b_n}．
（2）由题意可得：a_n+b_n+8=2ⁿ-20n+12，而方程2ⁿ=20n-12只有n=7满足条件．故当n=7时，a_n+b_n+8=0．
（3）由题得2ⁿ⁺¹-20n+4+k≥0对于一切n∈N*．n≥2恒成立，即k≥-2ⁿ⁺¹+20n-2，令f（n）=-2ⁿ⁺¹+20n-2（n∈N*．n≥2），由此推导出当n=4时，k的最小值为46．
解答：解：（1）由题意得：
解之得：，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2
∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ
当n=1时，a₁=S₁=2符合上式故a_n=2ⁿ，n∈N*．（2分）
b_n=T_n-T_n-1=4-20n
当n=1时，b₁=T₁=2，b₂=T₂-T₁=-52不符合上式．
故．（4分）

（2）当n=1时．a₁=b₁=2、且a₁+b₁+8≠0不合．
由题意可得：a_n+b_n+8=2ⁿ-20n+12
而方程2ⁿ=20n-12只有n=7满足条件．
故当n=7时，a_n+b_n+8=0（6分）
（3）由题得：S_n+b_n+k≥0，
∴2ⁿ⁺¹-20n+4+k≥0对于一切n∈N*．n≥2恒成立
即k≥-2ⁿ⁺¹+20n-2（8分）
令f（n）=-2ⁿ⁺¹+20n-2（n∈N*．n≥2）
则=f（n+1）-f（n）=-2ⁿ⁺¹+20（10分）
当n＜4时，f（n+1）＞f（n）；
当n≥4时．f（n+1）＜f（n）
而f（3）=-2⁴+60-2=42，f（4）=-2⁵+80-2=46
∴k≥46
故当n=4时，k的最小值为46．（14分）
点评：本题考查数列和不等式的综合应用题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．