【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆的方程,可求出与的值,从而得出椭圆的方程;(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,当直线的斜率不存在时,可求出,然后进行检验;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设点,先由直线与圆相切得出与之间的关系,再将直线的方程与椭圆的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件得出的值,从而求出直线的倾斜角.
(1)由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得,
又点在椭圆上,所以,解得,
即椭圆的方程为.
(2)圆的方程为,当直线不存在斜率时,解得,不符合题意;
当直线存在斜率时,设其方程为,因为直线与圆相切,所以,即.
将直线与椭圆的方程联立,得:
,
判别式,即,
设,则 ,
所以,
解得,
所以直线的倾斜角为或.
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【题目】已知圆与直线相切,圆心在轴上,且直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程;
(2)过点作斜率为的直线与圆交于两点,若直线与的斜率乘积为,且,求的值.
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【题目】已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且,求k的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点点N在线段AD上.
(1)点N为线段AD的中点时,求证:直线PA∥面BMN;
(2)若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求二面角C﹣BM﹣N所成角θ的余弦值.
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