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【题目】已知圆O经过椭圆C=1ab0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b)在椭圆C上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于MN两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)先由题意得出 ,可得出的等量关系,然后将点的坐标代入椭圆的方程,可求出的值,从而得出椭圆的方程;(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论,当直线的斜率不存在时,可求出,然后进行检验;当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设点,先由直线与圆相切得出之间的关系,再将直线的方程与椭圆的方程联立,由韦达定理,利用弦长公式并结合条件得出的值,从而求出直线的倾斜角.

(1)由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点,所以椭圆焦距等于短轴长,可得

又点在椭圆上,所以,解得

即椭圆的方程为.

(2)圆的方程为,当直线不存在斜率时,解得,不符合题意;

当直线存在斜率时,设其方程为,因为直线与圆相切,所以,即.

将直线与椭圆的方程联立,得:

判别式,即

,则

所以

解得

所以直线的倾斜角为.

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