Question

3．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与x轴相交于点G，且$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，求k的值；
（3）设点A为椭圆的下顶点，k_AC，k_AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k_AC•k_AD=-2．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率结合隐含条件求得a，c的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数的关系可得C，D两点的横坐标的和与积，把$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$转化为点的横坐标间的关系，代入根与系数的关系后求得k值；
（3）由椭圆方程求出A的坐标，得到k_AC，k_AD，代入根与系数的关系证得答案．

解答 （1）解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}$，即a²=3c²，
又b²=4，a²=b²+c²，
∴c²=2，a²=6．
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）解：如图，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设其方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+6kx-9=0．
再设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{9}{2+3{k}^{2}}$，
若$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{DE}$，则x₁=x_G-x₂，即x₁+x₂=x_G，
由y=kx+1，取y=0可得${x}_{G}=-\frac{1}{k}$，
∴$-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}=-\frac{1}{k}$，解得：$k=±\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）证明：由题意方程可得A（0，-2），
则${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}，{k}_{AD}=\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$，
∴k_AC•k_AD=$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=${k}^{2}（-\frac{9}{2+3{k}^{2}}）+k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+1$=$\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2=k（-\frac{6k}{2+3{k}^{2}}）+2$=$\frac{4}{2+3{k}^{2}}$．
∴k_AC•k_AD=$\frac{\frac{2-12{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}+\frac{8}{2+3{k}^{2}}+4}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{18}{2+3{k}^{2}}}{-\frac{9}{2+3{k}^{2}}}=-2$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线和圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程与圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求解，属中档题．