Question

已知函数f （x）=2cos²x-2sinxcosx+1．
（1）设方程f （x）-1=0在（0，z）内的两个零点x₁，x₂，求x₁+x₂的值．
（2）把函数y=f （x）的图象向左平移m （m＞0）个单位使所得函数的图象关于点（0，2）对称，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对函数f（x）的解析式化简整理，根据f（x）-1=0，求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

进而求得x，则x₁和x₂可求，进而求得x₁+x₂．
（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，则可知g（x）的解析式，根据函数的图象关于（0，2）对称，进而求得m的集合，进而求得m的最小值．

解答：解：（1）由题设得f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2
∵f（x）-1=0，∴

2

cos（2x+

π

4

）+2=1
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，
由2x+

π

4

=2kπ+

3π

4

或2kπ+

5

4

π，k∈Z．得x=kπ+

π

4

或kπ+

π

2

∵x∈（0，π）
∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

∴x₁+x₂=

3π

4

（2）设y=f（x）的图象向左平移m个单位，得到函数g（x）的图象，
则g（x）=cos（2x+

π

4

+2m）+2
∵y=g（x）的图象关于点（0，2）对称，∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z
∴2m=kπ+

π

4

，m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z
∵m＞0，∴当k=0时，m取得最小值

π

8

．

点评：本题主要考查了二倍角公式，三角函数图象的平移，及对称性．考查了学生综合把握三角函数知识的能力．