Question

已知函数，，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合条件的一个x₀；否则，说明理由．

Answer 1

解：由，得
（1）由题意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，则px²-x+p≤0恒成立∴
又∴p≤0满足题意
若f'（x）≥0恒成立，则px²-x+p≥0恒成立∴
综合上述，p的取值范围是． …（6分）
（2）令．则问题等价于：找一个x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）_min≤0即可．
因，
而，
故当时，F'（x）＜0，F（x）递减；当时，F'（x）＞0，F（x）递增．
于是，．
与上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x₀． …（12分）
分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，问题等价于：找一个x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）_min≤0即可．，再利用导数工具，求出F（x）_min，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．