Question

已知向量

a

=（2cosx，cos2x），

b

=（sinx，1），令f（x）=

a

•

b

，
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[

π

8

，

3π

8

]且f（x）=

2

2

，求cos2x的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积，二倍角与两角和的正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调性求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）通过x∈[

π

8

，

3π

8

]得到2x+

π

4

∈[

π

2

，π]结合f（x）=

2

2

，求出2x的值，然后求cos2x的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=2sinx•cosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)
解-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ，k∈Z得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是(-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ)(k∈Z)
（Ⅱ）当x∈[

π

8

，

3π

8

]时，2x+

π

4

∈[

π

2

，π]，由f（x）=

2

2

得sin(2x+

π

4

)=

1

2

∴2x+

π

4

=

5π

6

，解得2x=

7π

12

，
所以cos2x=cos

7π

12

=cos105°=

2 - 6

4

点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质的应用，考查计算能力，常考题型．