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已知向量
a
=(2cosx,cos2x),
b
=(sinx,1),令f(x)=
a
b

(I)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[
π
8
8
]且f(x)=
2
2
,求cos2x的值.
分析:(I)利用向量的数量积,二倍角与两角和的正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式,通过正弦函数的单调性求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)通过x∈[
π
8
8
]得到2x+
π
4
∈[
π
2
,π]
结合f(x)=
2
2
,求出2x的值,然后求cos2x的值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
a
b
=2sinx•cosx+cos2x=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)

-
π
2
+2kπ<2x+
π
4
π
2
+2kπ,k∈Z
-
8
+kπ<x<
π
8
+kπ,k∈Z

∴f(x)的单调递增区间是(-
8
+kπ,
π
8
+kπ)(k∈Z)

(Ⅱ)当x∈[
π
8
8
]时,2x+
π
4
∈[
π
2
,π]
,由f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)=
1
2

2x+
π
4
=
6
,解得2x=
12

所以cos2x=cos
12
=cos105°=
2
-
6
4
点评:本题是中档题,考查三角函数的基本性质的应用,考查计算能力,常考题型.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosx,2sinx),
b
=(cosx,-
3
cosx)
,函数f(x)=
a
b
g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax
(a为常数).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若函数g(x)的图象关于y轴对称,求g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3)已知对任意实数x1,x2,都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|
成立,当且仅当x1=x2时取“=”.求证:当a>
3
时,函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosx,sin2x),
b
=(2sinx,cos2x)(x∈R),且f(x)=|
a
|-|
b
|,则f(x)的最大值
1
1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知向量
a
=(2cosx,2sinx),
b
=(cosx,-
3
cosx)
,函数f(x)=
a
b
g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax
(a为常数).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若函数g(x)的图象关于y轴对称,求g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3)已知对任意实数x1,x2,都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|
成立,当且仅当x1=x2时取“=”.求证:当a>
3
时,函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知向量
a
=(2cosx,cos2x),
b
=(sinx,1),令f(x)=
a
b

(I)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[
π
8
8
]且f(x)=
2
2
,求cos2x的值.

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