Question

已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F₁，F₂关于直线y＝x的对称点分别为F₁′，F₂′，求以F₁′，F₂′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为．

                  由题意，得解得a＝2，b＝1．

         所求双曲线的方程为…………………………………………6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，－），F₂（0，）．

点F₁，F₂关于直线y＝x的对称点分别为F₁′（－，0），F₂′（，0），又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0）．

          由椭圆定义，得2m=

因为m²－n²＝5，所以n²＝4．

所以椭圆的方程为.………………………………………12分