解法一:
证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,
平面ABCD,
∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°
∴BC⊥AC
又
∴BC⊥平面PAC 4分
解:(II)∵AB//CD,∠DAB=120°
∴∠ADC=60°,又AD=CD=1
∴△ADC为等边三角形,且AC=1 5分
取AC的中点O,则DO⊥AC
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥DO
∴DO⊥平面PAC
过O作OH⊥PC,垂足为H,连DH,由三垂线定理知DH⊥PC
∴∠DHO为二面角D—PC—A的平面角 7分
由
8分
∴二面角D—PC—A的大小为arctan2 9分
(III)设点B到平面PCD的距离为d
∵AB//CD,
平面PCD
∴AB//平面PCD
∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 11分
13分
14分
解法二:
证明:(I)同解法一 4分
解:(II)取CD的中点E,则AE⊥CD
∴AE⊥AB
又PA⊥底面ABCD,
底面ABCD
∴PA⊥AE 5分
建立空间直角坐标系,如图。则
A(0,0,0),
7分
设
为平面PAC的一个法向量
为平面PDC的一个法向量,则
,
可取
;
,可取
9分
10分
故所求二面角的大小为
11分
(III)又B(0,2,0),
12分
由(II)取平面PCD的一个法向量
∴点B到平面PCD的距离为
13分
14分