Question

（2013•宜宾二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：（I）由题意，得DE⊥AD且DE⊥DC，从而DE⊥平面A₁DC．结合DE∥BC，得BC⊥平面A₁DC，由面面垂直判定定理即可得到平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（II）以D为原点，DE、DC、DA₁分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示直角坐标系，可得A₁、B、C、E各点的坐标，从而得到向量

BE

、

A1C

、

CB

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=(0，2，1)是平面A₁BC的一个法向量，利用向量的夹角公式算出

m

、

BE

的夹角余弦值，即可得到BE与平面A₁BC所成角的余弦值；
（III）设CD=x，得A₁D=6-x，从而得到A₁、B的坐标，由两点的距离公式得到用x表示|A₁B|的式子，利用二次函数的性质即可求出A₁B的长度的最小值．

解答：解：（Ⅰ）在图1中△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，∴DE⊥AC
由此可得图2中，DE⊥AD，DE⊥DC，
又∵A₁D∩DC=D，∴DE⊥平面A₁DC．
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A₁DC，
又∵BC?平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面A₁DC…（4分）
（Ⅱ）由（1）知A₁D⊥DE，A₁D⊥DC，DC⊥DE，
故以D为原点，DE、DC、DA₁分别为x、y、z轴建立直角坐标系．
则E（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），A₁（0，0，4）
∴

BE

=(-1，-2，0)，

A1C

=(0，2，-4)，

CB

=(3，0，0)，
设平面A₁BC的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则

m • A1C =2y-4z=0 m • CB =3x=0

，取y=2可得

m

=(0，2，1)，
设直线BE与平面A₁BC所成角θ，
可得sinθ=|cos＜

m

，

BE

＞|=|

-4

5 • 5

|=

4

5

即直线BE与平面A₁BC所成角的余弦值为

3

5

．…（8分）
（Ⅲ）设CD=x，则A₁D=6-x，
在（II）的坐标系下，可得B（3，x，0），A₁（0，0，6-x），
∴|A1B|=

9+x2+(6-x)2

=

2x2-12x+45

(0＜x＜6)，
∵2x²-12x+45=2（x-3）²+27，∴当x=3时，

2x2-12x+45

的最小值为3

3

．
由此可得当x=3时，|A₁B|最小值为3

3

．…（12分）

点评：本题以平面图形的折叠为例，求证线面垂直并求直线与平面所成角，着重考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量研究线面所成角等知识，属于中档题．