Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若过面对角线AB₁与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D．
（1）确定D的位置，并证明你的结论；
（2）证明：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

（1）解：如图，将正三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成一直平行六面体ABCE-A₁B₁C₁E₁，
由AE₁∥BC₁，AE₁?平面AB₁E₁，知BC₁∥平面AB₁E₁，
故平面AB₁E₁应为所求平面，
此时平面AB₁E₁交A₁C₁于点D，
由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A₁C₁的中点．
（2）证明：连接AD，从直平行六面体定义知AA₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
且从A₁B₁C₁E₁是菱形知，B₁E₁⊥A₁C₁，据三垂线定理知，B₁E₁⊥AD．
又AD∩A₁C₁=D，所以B₁E₁⊥平面AA₁D，
又B₁E₁?平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥平面AA₁D．
分析：（1）先将正三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成一直平行六面体ABCE-A₁B₁C₁E₁，然后根据AE₁∥BC₁，AE₁?平面AB₁E₁，满足线面平行的判定定理，则BC₁∥平面AB₁E₁，从而平面AB₁E₁应为所求平面，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A₁C₁的中点．
（2）欲证平面AB₁D⊥平面AA₁D，根据面面垂直的判定定理可知在平面AB₁D内一直线与平面AA₁D垂直，连接AD，根据线面垂直的判定定理可知B₁E₁⊥平面AA₁D，而B₁E₁?平面AB₁D，满足定理所需条件．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．