Question

6．在二项式（x+$\frac{3}{x}$）ⁿ的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A=64B，求二项式（x+$\frac{3}{x}$）ⁿ的展开式中的常数项．

Answer 1

分析 根据二项式的展开式各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A=64B，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．

解答 解：令x=1，得A=4ⁿ，…（2分）
而B=2ⁿ，…（4分）
所以4ⁿ=64•2ⁿ，解得n=6   …（6分）
所以T_r+1=C₆^rx^6-r•（$\frac{3}{x}$）^r=C₆^rx^6-2r•3^r，
令6-2r=0，∴r=3，
常数项：T₄=3³•C₆³=540．…（10分）

点评 本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．