Question

【题目】已知函数f（x）=x3+m．
（1）试用定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若关于x的不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在区间[1，2]上有解，求m的取值范围．参考公式：a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）

Answer 1

【答案】
（1）证明：任取x1，x2，且0＜x1＜x2

则

因为0＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0， x∈

即f（x2）﹣f（x1）＞0

所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）解：不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在区间[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在区间[1，2]上有解，

即m不小于3x2﹣3x在区间[1，2]上的最小值因为[1，2]时， ，所以m的取值范围是[0，+∞）．

【解析】1、由定义正明函数的增减性可得函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数。
2、由题意可得不等式f（x）≥x3+3x2﹣3x在区间[1，2]上有解，即不等式m≥3x2﹣3x在区间[1，2]上有解，即m不小于3x2﹣3x在区间[1，2]上的最小值因为[1，2]时， ∈ [ 0 ， 6 ] ，所以m的取范围是[0，+∞）.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．