Question

（1）设0＜x＜

3

2

，求函数y=4x（3-2x）的最大值；
（2）已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据x的范围确定3-2x的符号，再由y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．
（2）先根据x+y-3xy+5=0得到x+y+5=3xy，进而可根据基本不等式得到2

xy

+5≤x+y+5=3xy，根据一元二次不等式的解法得到

xy

的范围，进而可得到xy的范围，即可求出xy的最小值．

解答：解：（1）∵0＜x＜

3

2

，∴3-2x＞0．
∴y=4x•（3-2x）=2[2x（3-2x）]≤2[

2x+(3-2x)

2

]²=

9

2

．
当且仅当2x=3-2x，即x=

3

4

时，等号成立．
∵

3

4

∈（0，

3

2

），
∴函数y=4x（3-2x）（0＜x＜

3

2

）的最大值为

9

2

．

（2）由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy．
∴2

xy

+5≤x+y+5=3xy．
∴3xy-2

xy

-5≥0，
∴（

xy

+1）（3

xy

-5）≥0，
∴

xy

≥

5

3

，即xy≥

25

9

，
等号成立的条件是x=y．
此时x=y=

5

3

，
故xy的最小值是

25

9

．

点评：本题主要考查基本不等式的用法和一元二次不等式的解法．应用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”的原则．