Question

【题目】已知函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）设g（x）=f（x）+c，且x∈[﹣1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，

∴f'（0）=0，f'（4）=0，

可求得

（2）解：由（1）可知 ，f'（x）=x2﹣4x=x（x﹣4），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；

∴极大值为 ，极小值为

（3）解：要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1

由（2）得：

∴ ，

∴

【解析】（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=0，把0和4代入求出k即可．（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx2+6（k﹣1）x=x2﹣4x=x（x﹣4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可，把函数导数为0的x值代到f（x）中，通过表格，判断极大、极小值即可．（3）要使命题成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（﹣1）和g（2）其中较小的即为g（x）的最小值，列出不等关系即可求得c的取值范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．