Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=

2

3n

（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=n•a_x'|_x=n（其中a_x'|_x=n表示函数y=a_x在x=n时的导数），则

lim

n→∞

（

n

i=1

b_i）=（　　）

• A、

  3

  2

  ln3
• B、-

  3

  2

  ln3
• C、-3ln3
• D、3ln3

Answer 1

分析：由题设条件知b_n=-

2nln3

3n

，记T_n=

n

i=1

b_i=（-2ln3）（

1

3

+

2

32

++

n

3n

），3T_n=（-2ln3）（1+

2

3

+

3

32

++

n

3n-1

）．由此得：T_n=-ln3[

3

2

（1-

1

3n

)-

n

3n

]，由此能够得到

lim

n→∞

（

n

i=1

b_i）的值．

解答：解：a_x=2×3^-x，故a_x'=2×3^-xln3×（-1）=-2×3^-xln3，即b_n=-

2nln3

3n

，记T_n=

n

i=1

b_i=（-2ln3）（

1

3

+

2

32

++

n

3n

），①
∴3T_n=（-2ln3）（1+

2

3

+

3

32

++

n

3n-1

）．②
②-①得：2T_n=（-2ln3）（1+

1

3

+

1

32

++

1

3n-1

-

n

3n

），可得：T_n=-ln3[

3

2

（1-

1

3n

)-

n

3n

]于是

lim

n→∞

（

n

i=1

b_i）=

lim

n→∞

STn=-

3

2

ln3．
故选B

点评：本题考查极限的运算，解题时要注意公式的灵活运用，仔细审题，认真解答．