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【题目】已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)+g(x)=2x , 若存在x0∈[1,2]使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是

【答案】[ ]
【解析】解:解:∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数,

∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),

又∵由f(x)+g(x)=2x,结合f(﹣x)+g(﹣x)=﹣f(x)+g(x)=2x

∴f(x)=﹣ (2x﹣2x),g(x)= (2x+2x).

等式af(x)+g(2x)=0,化简为﹣ (2x﹣2x)+ (22x+22x)=0.

∵x∈[1,2],∴ ≤2x﹣2x

令t=2x﹣2x,则t>0,因此将上面等式整理,得:a=t+

函数h(t)=t+ 在[ ]递增, ≤t+

则实数a的取值范围是[ ],

所以答案是:[ ].

【考点精析】利用函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇.

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