Question

对于x∈[-1，1]，设y=2x²-2ax-1-2a的最小值为f（a）．
（1）求f（a）；
（2）若f（a）=

1

2

，求a．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先确定函数的对称轴和开口方向，由于函数要求最小值，需分三种情形讨论，最后最小值写成分段函数的形式可得函数f（a）；
（2）由（1）得关于a的方程，解出即可．

解答： 解：（1）∵y=2x²-2ax-1-2a=2（x-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1，（-1≤x≤1），
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，y_min=y|_x=-1=f（a）=1；
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，y_min=y|_x=

a

2

=f（a）=-

1

2

a²-2a-1；
当

a

2

＞1，即a＞2时，y_min=y|_x=1=f（a）=1-4a；
（2）由（1）得：当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，f（a）=-

1

2

a²-2a-1=

1

2

，解得：a=-1，a=-3（舍）；
当

a

2

＞1，即a＞2时，f（a）=1-4a=

1

2

，解得：a=

1

8

（舍），
综上：a=-1．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，特别是求二次函数的最值，需要分类讨论，做到不重不漏，解题时要学会用分类讨论的思想方法解决问题．