Question

（12分）已知函数（），其中．

（Ⅰ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅱ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)f′(x)＝x(4x³＋3ax＋4)，显然x＝0不是方程4x³＋3ax＋4＝0的根.

为使f(x)仅在x＝0处有极值，必须4x²＋3ax＋4≥0，即有Δ＝9a²－64≤0.

解此不等式，得－≤a≤.这时，f(0)＝b是唯一极值.

因此满足条件的a的取值范围是. －≤a≤.

(2)由条件，可知Δ＝9a²－64＜0，从而4x²＋3ax＋4＞0恒成立.

当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.

因此函数f(x)在上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者.

为使对任意的，不等式f(x)≤1在上恒成立，当且仅当

即在上恒成立.

所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4].

【解析】略