Question

已知△ABC的三边AB，BC，CA的长成等差数列，且|AB|＞|CA|，又B（-1，0），C（1，0），求点A的轨迹方程，并指明它是什么曲线．

Answer 1

分析：通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程．

解答：解：已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|
∵点B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2
所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆
∵焦点B、C在x轴上，故设椭圆为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由已知有：c=1，a=2
所以，b²=a²-c²=4-1=3
又已知|AB|＞|AC|
所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）
所以，点A的轨迹方程是：

x2

4

+

y2

3

=1（0＜x＜2）

点评：本题是中档题，考查椭圆的定义，等差数列的应用，正确运用椭圆的定义是解题的关键，同时应注意变量的范围．