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设函数f(x)=x-
1
x
,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A、m<0B、m≤0
C、m≤-1D、m<-1
分析:显然m≠0,分当m>0与当m<0两种情况进行讨论,并进行变量分离即可得出答案.
解答:解:由f(mx)+mf(x)<0得mx-
1
mx
+mx-
m
x
<0

整理得:2mx<(m+
1
m
1
x
,即2mx2<m+
1
m
恒成立.
①当m>0时,2x2<1+ 
1
m2
,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上无最大值,因此此时不合题意;
②当m<0时,2x2>1+
1
m2
,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+
1
m2
<2
,即m2>1,解得m<-1或m>1(舍去).
综合可得:m<-1.
故选D.
点评:本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx,g(x)=
2e
x
(p是实数,e为自然对数的底数)
(1)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(2)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求p的值;
(3)若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D),有x+l∈D,且f(x+1)≥f(x),则称f(x)为M上的高调函数.现给出下列三个命题:
①函数f(x)=(
12
)x
为R上的l高调函数;
②函数f(x)=sin2x为R上的π高调函数;
③如果定义域是[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数,那么实数m的取值范围[2,+∞);
其中正确的命题是
②③
②③
(填序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)恒成立;当x∈[0,1]时,f(x)=x3-4x+3.有下列命题:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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