精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2009•襄阳模拟)已知数列{an}的前n项和Sn是二项式(1+2x)2n(n∈N* )展开式中含x奇次幂的系数和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设f(n)=
4
9an+12
,求f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
);
(3)证明:
a2
(a2-4)(a3-4)
+
a3
(a3-4)(a4-4)
+…+
an
(an-4)(an+1-4)
1
256
(1-
1
4n2-3n
).
分析:(1)记(1+2x)2n=a0+a1x+…+a2nx2n,利用赋值可分别令x=1得:32n=a0+a1+…+a2n,令x=-1得:1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1),从而可求
(2)由(1)可得f(n)=
4
9n+12
=
1
9n+3
,注意到f(n)+f(1-n)=
1
3
,从而可考虑利用倒序相加求和即可
(3)由
an
(an-4)(an+1-4)
=
9n-1
(4×9n-1-4)(4×9n-4)
=
9n-1
4(9n-1-1)(9n-1)

=
1
32
(
1
9n-1-1
-
1
9n-1
)
,故可以利用裂项求和先求和,然后利用二展开式进行放缩可证
解答:解:(1)记(1+2x)2n=a0+a1x+…+a2nx2n
令x=1得:32n=a0+a1+…+a2n
令x=-1得:1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
两式相减得:32n-1=2(a1+a3+…+a2n-1
Sn=
1
2
(9n-1)
(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×9n-1
当n=1时,a1=S1=4,适合上式
∴an=4×9n-1(4分)
(2)f(n)=
4
9n+12
=
1
9n+3

注意到f(n)+f(1-n)=
1
9n+3
+
1
91-n+3
=
1
9n+3
+
9n
9+3×9n
=
1
3
(6分)
T=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)

则T=f(
n
n
)+f(
n-1
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)

2T=[f(0)+f(
n
n
)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+…+
[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)]+[f(
n
n
)+f(0)]

T=
n+1
6
,即f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)=
n+1
6
(8分)
(3)
an
(an-4)(an+1-4)
=
9n-1
(4×9n-1-4)(4×9n-4)
=
9n-1
4(9n-1-1)(9n-1)

=
1
32
(
1
9n-1-1
-
1
9n-1
)
 (n≥2)(10分)
Sn=
1
32
[(
1
9-1
-
1
92-1
)+(
1
92-1
-
1
93-1
)+…+ (
1
9n-1-1
-
1
9n-1
)]

=
1
32
(
1
8
-
1
9n-1
)
(12分)
∵9n-1=(8+1)n-1=Cn1×8+Cn2×82+…+Cnn8n
C
1
n
×8+
C
2
n
×82=8n+82×
n(n-1)
2
=8(4n2-3n)
从而可得,
a2
(a2-4)(a3-4)
+
a3
(a3-4)(a4-4)
+…+
an
(an-4)(an+1-4)
1
256
(1-
1
4n2-3n
).(14分)
点评:本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数,及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用,还要注意放缩法在证明不等式中的应用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•襄阳模拟)过点A(2,-3),且与向量m=(4,-3)垂直的直线方程是
4x-3y-17=0
4x-3y-17=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•襄阳模拟)将函数f(x)=2x+1-1的反函数的图象按向量
a
=(1,1)平移后得到函数g(x)的图象,则g (x)的表达式为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•襄阳模拟)在如图所示的四面体ABCD中,AB、BC、CD两两互相垂直,且BC=CD=1.
(1)求证:平面ACD⊥平面ABC;
(2)求二面角C-AB-D的大小;
(3)若直线BD与平面ACD所成的角为θ,求θ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•襄阳模拟)设全集U={1,3,5,7},M={1,a-5},CUM={5,7},则实数a的值为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案