Question

函数，定义f（x）的第k阶阶梯函数，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．

Answer 1

解：（1）当x∈[0，）时，f（x）=x+＞x，故不等式f（x）≤x无解；
x∈[，1]时，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈
故不等式f（x）≤x的解为------------------（4分）
（2）∵，k∈N^*-------------------（6分）
第一段函数是增函数，第二段是减函数
∴f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为，-------------------（7分）
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为
所以过P_kP_k+1这两点的直线的斜率为．------------------（8分）
同理可得过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率也为．
所以f（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线．
直线方程为即2x+4y-5=0-------------（12分）
分析：（1）按分段函数分段标准讨论x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函数f_k（x）的解析式，然后研究函数f_k（x）的单调性，从而得到f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点P_k的坐标，然后求出过P_kP_k+1这两点的直线的斜率和过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率，可证得所有的点P_k在某条直线L上．
点评：本题主要考查了分段函数的性质，以及函数的单调性和最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．