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(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点的个数;

(2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件:

①对任意x∈R,f(-1+x)=f(-1-x),且f(x)≥0;

②对任意x∈R,都有0≤f(x)-x≤(x-1)2.若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说

明理由。

(3)若对任意x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明:存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=[f(x1)+f(x2)]成立。

 

 

【答案】

解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+C=0,则b=a+c,∵⊿=b2-4ac=(a-c)2,∴当a=c时,⊿=0,

此函数f(x)有一个零点;当a≠c时,⊿>0.函数f(x)有两个零点.

(2)假设a,b,c存在,有(1)可知抛物线的对称轴为x=1,∴-=-1,即b=2a,①

由(2)可知对任意的x∈R,都有0≤f(x)-x≤(x-1)2,令x=1,

得0≤f(1)-1≤0,所以,f(1)=1,即a+b+c=1,  ②又因为f(x)-x≥0恒成立,

∴a>0

(b-1)2-4ac≤0    即(a-c)2≤0,∴a=c,③  由①②③得a=C=,b=

所以f(x)=,经检验a,b,c的值符合条件.

(3)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],则

g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x1)-f(x2)]  g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]

={f(x2)-f(x1)},因为f(x1)≠f(x2

所以,g(x1)g(x2)<0,所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一个实根,

即存在x0∈(x1,x2)使f(x0)=[f(x1)+f(x2)]成立.

【解析】略

 

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3
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|=6,
ON
=
5
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OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
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(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
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=3
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