Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到点P（如图）．若光线QR经过△ABC的重心（三角形三条中线的交点），则AP=

4

3

．

Answer 1

分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P₁的坐标，和P关于y轴的对称点P₂的坐标，由P₁，Q，R，P₂四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．

解答：解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（

0+0+4

3

，

0+4+0

3

），
设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P₁（x，y），满足

a+x 2 +  y+0 2 =4 y-0 x-a •(-1)=-1

，
解得

x=4 y=4-a

，
即P₁（4，4-a），易得P关于y轴的对称点P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四点共线，
直线QR的斜率为k=

4-a-0

4-(-a)

=

4-a

4+a

，故直线QR的方程为y=

4-a

4+a

（x+a）．
由于直线QR过△ABC的重心（

4

3

，

4

3

），代入化简可得3a²-4a=0，
解得a=

4

3

，或a=0（舍去），故P（

4

3

，0），故AP=

4

3

，
故答案为

4

3

．

点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．