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已知向量
m
=(
3
sinx,cosx),
n
=(cosx,cosx),
p
=(2
3
,1),且cosx≠0.
(Ⅰ)若
m
p
,求
m
n
的值;
(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
cosB
cosC
=-
b
2a+c
,且f(x)=
m
n
,求函数f(A)的值域.
考点:平面向量的综合题
专题:三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析:(1)若
m
p
,得
3
sinx
cosx
=
2
3
1
,求出tanx=2,
m
n
=
3
sinxcosx+cos2x,转化为关于tanx的式子求解.
(2)(Ⅱ)△ABC中,
cosB
cosC
=-
b
2a+c
=-
sinB
2sinA+sinC
,2sinAcosB=-(cosBsinC+sinBcosC)=-sin(B+C)=-sinA求出B,又f(x)=
3
sinxcosx+cosxcosx=
3
sin2x
2
+
1+cos2x
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2
.代入f(A)的式子求解,转化为三角变换.
解答: 解:(Ⅰ)若
m
p
,得
3
sinx
cosx
=
2
3
1

sinx=2cosx,
因为cosx≠0,所以tanx=2,
所以
m
n
=
3
sinxcosx+cos2x=
3
sinxcosx+cos2x
sin2x+cos2x
=
3
tanx+1
tan2x+1
=
2
3
+1
5

(Ⅱ)∵△ABC中,
cosB
cosC
=-
b
2a+c
=-
sinB
2sinA+sinC

2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC
∴2sinAcosB=-(cosBsinC+sinBcosC)=-sin(B+C)=-sinA
又sinA>0得:cosB=-
1
2
,因为0<B<π,所以B=
3
.则0<A<
π
3

f(x)=
3
sinxcosx+cosxcosx=
3
sin2x
2
+
1+cos2x
2
=sin(2x+
π
6
)+
1
2

所以f(A)=sin(2A+
π
6
)+
1
2
(0<A<
π
3
)

因为A∈(0,
π
3
)
,所以2A+
π
6
∈(
π
6
6
)
,所以sin(2A+
π
6
)∈(
1
2
,1]

所以f(A)∈(1,
3
2
]
,即函数f(A)的值域为(1,
3
2
]
点评:本题综合考查了向量和三角函数的结合的题目,难度属于中等,计算化简容易出错,做题要仔细.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
16
=1,离心率为
3
5

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过a>4的椭圆的右焦点F任作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于A,B两点,问在F右侧是否存在一点D(m,0),连AD、BD分别交直线x=
25
3
于M,N两点,且以MN为直径的圆恰好过F,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

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若f(x)=x3+ax2+3x+1在定义域R内为单调递增函数,则实数a的取值范围为(  )
A、[-1,1]
B、[-3,3]
C、[-
3
3
]
D、[-
2
2
]

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已知定义在R上的函数f(x)为单调函数,且对任意x∈R,恒有f(f(x)-2x)=-
1
2
,则函数f(x)的零点是(  )
A、-1B、0C、1D、2

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科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=
1
2
sin(ωx-
π
3
)(ω>0)的图象在[
π
4
π
2
]
上为增函数,则ω的取值范围为(  )
A、[
2
3
5
3
]
B、[
17
3
22
3
]
C、(0,
5
3
]
D、(0,
17
3
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是双曲线x2-
y2
9
=1上的一点,F1,F2是双曲线的左右焦点,且<
PF1
PF2
>=120°,则|
PF1
+
PF2
|=
 

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已知数列{an}中,a1=1,a2=4,满足an+2=
5
3
an+1-
2
3
an
,则数列{an}的通项公式an=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线ax2+by2=12的两条动弦MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2
(1)已知a=b=3且A(-2,0),B(2,0),试证明:k1k2为定值.
(2)已知a=3,b=4.
(i)若A(-2,0),B(2,0),试判断k1k2是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
(ii)若定点M(1,-
3
2
)且k1k2=
3
4
,试判断直线AB是否过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题正确的是(  )
①任何一个函数的定义域皆非空.
②直线x=a与函数f(x)图象有且仅有一个公共点.
n5n
表示5的n次方根.
④若函数f(x)没有最大值,则f(x)一定趋近于+∞.
⑤若函数f(x)在[-1,0]单调递增且在[0,1]单调递增,则函数f(x)在[-1,1]一定单调递增.
A、①⑤B、①③⑤
C、①②③④D、①②④⑤

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