Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=

5

2

+log2an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）比较

1

2

n3+2（n∈N^*）与（II）中S_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由条件根据关于正数的等比数列的通项公式可得 4=1×q²，可得q的值，由此求得等比数列{a_n}的通项公式．
（II）先求得b_n=

5

2

+log2an=n+

3

2

，可得数列{b_n}为等差数列，且公差为1，首项为

5

2

，由此求得数列{b_n}的前n项和S_n ．
（III）当n=1，或n=2时，经过检验，

1

2

n3+2（n∈N^*）与

1

2

n（n+4）相等； 当n=3时，经过检验，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．可得当n≥3时，有

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4），
该结论得出的依据是：当自变量的取值较大时，三次函数的增长速度大于二次函数的增长速度．

解答：解：（I）已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃=4，设公比为q，则由4=1×q²，可得q=2．
故等比数列{a_n}的通项公式为 a_n=1×2^n-2=2^n-1．
（II）由于 b_n=

5

2

+log2an=

5

2

+（n-1）=n+

3

2

，数列{b_n}为等差数列，且公差为1，故此数列的前n项和S_n =

n[ 5 2 +(n+ 3 2 )]

2

=

1

2

n（n+4）．
（III）当n=1，或n=2时，经过检验，

1

2

n3+2（n∈N^*）与

1

2

n（n+4）相等，当n=3时，经过检验，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
故当n≥3时，

1

2

n3+2＞

1

2

n（n+4）．
这是因为当n比较大时，函数

1

2

n3+2 的增长速度大于S_n =

1

2

n（n+4）的增长速度．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，属于中档题．