Question

16．已知等差数列{a_n}，满足d＞0，且a₁+a₂+a₃=9，a₁•a₃=5
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{a_n}{2^n}$，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S_n＜3．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵a₁+a₂+a₃=9，a₁•a₃=5，∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+2d）=5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）证明：b_n=$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{3+2n}{{2}^{n}}$＜3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．