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16.已知等差数列{an},满足d>0,且a1+a2+a3=9,a1•a3=5
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=$\frac{a_n}{2^n}$,Sn为数列{bn}的前n项和,证明:Sn<3.

分析 (1)利用等差数列的通项公式即可得出.
(2)利用“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出.

解答 (1)解:∵a1+a2+a3=9,a1•a3=5,∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{{a}_{1}({a}_{1}+2d)=5}\end{array}\right.$,解得a1=1,d=2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明:bn=$\frac{a_n}{2^n}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$,
∴数列{bn}的前n项和Sn=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$,
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$(\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}})$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{{2}^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{{2}^{n+1}}$,
∴Sn=3-$\frac{3+2n}{{2}^{n}}$<3.

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的求和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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