Question

【题目】(2015·新课标I卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E ， F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD ， DF⊥平面ABCD ， BE=2DF ， AE⊥EC.

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

Answer 1

【答案】
（1）

见解析

（2）

【解析】（Ⅰ）连接BD ， 设BD∩AC=G ， 连接EG ， FG ， EF ， 在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=
由BE⊥平面ABCD ， AB=BC可知，AE=EC ，
又∵AE⊥EC ， ∴EG=，EG⊥AC ，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴EG2+EG2=EF2 ， ∴EG⊥FG ，
∵AC∩FG=G ， ∴EG⊥平面AFC ，
∵EG面AEC ， ∴平面AFC⊥平面AEC.

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴正方向，为单位拟长度，建立空间直角坐标系G-xyz。由（Ⅰ）可得
A（0，-），E(1，0，)，F（-1,0,),C(0,,0), ∴=(1,,), =(-1,-,).
故, 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为。