Question

6．若关于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集为空集，则实数m的取值为m≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 关于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集为∅，可转化成不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．

解答 解：∵关于x的不等式（m-1）x²-mx+m-1＞0的解集为∅，
∴不等式（m-1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①当m-1=0时，（m-1）x²-mx+m-1≤0，即x≥0，不是对任意x∈R恒成立；
②当m-1≠0时，?x∈R，使（m-1）x²-mx+m-1≤0，
即m-1＜0且△=（-m）²-4（m-1）（m-1）≤0，
解得m≤$\frac{2}{3}$
综上，实数m的取值范围是m≤$\frac{2}{3}$．
故答案为m≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，属于基础题．