Question

18．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12．

Answer 1

分析 P应是椭圆与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一点满足条件，由此能求出结果．

解答 解：∵正方体的棱长为1，
∴BD₁=$\sqrt{3}$，
∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），
满足|PB|+|PD₁|=m，
∴点P是以2c=$\sqrt{3}$为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，
满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点
满足条件．
∴满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数n的最大值是12，
故答案为12．

点评 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．