Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距离；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C₁M且AM=C₁M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；
（Ⅱ）过点C作CH⊥MC₁，根据线面垂直的判定定理可知AM⊥平面C₁CM，CH⊥平面C₁AM，则CH即为点C到平面AMC₁的距离，根据等面积法可求出CH的长；
（Ⅲ）过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，根据三垂线定理可知HI⊥AC₁，根据二面角的平面角的定义可知∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，在直角三角形ACC₁中利用等面积法可求出CI，即可求出二面角M-AC₁-C的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC
∴C₁M在底面内射影为CM，AM⊥CM．
∵底面ABC为边长为a的正三角形，
∴点M为BC边的中点
（Ⅱ）过点C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C₁CM∵CH在平面C₁CM内，
∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C₁AM
由（Ⅰ）知，AM=CM=

3

2

a，CM=

1

2

a且CC1⊥BC
∴CC1=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a
∴CH=

C1C×CM

C1M

=

2 2 a× 1 2 a

3 2 a

=

6

6

a
∴点C到平面AMC₁的距离为底面边长为

6

6

a
（Ⅲ）过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，
∵CH⊥平面C₁AM，
∴HI为CI在平面C₁AM内的射影，
∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角，
在直角三角形ACC₁中CI=

CC1×AC

AC1

=

2 2 a×a

a2+( 2 2 a)2

=

3

3

a，
sin∠CIH=

CH

CI

=

6 6 a

3 3

=

2

2

∴∠CIH=45°，
∴二面角M-AC₁-C的大小为45°

点评：本题主要考查了点线的位置关系，以及点到平面的距离和二面角的度量，同时考查了空间想象能力和计算能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．