Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为棱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°．E，F，M分别是BC，CD，PB的中点．
（1）证明：AB⊥MF；
（2）若PA=BA，求二面角E-MF-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由

AB

•

MF

=0，能证明AB⊥MF．
（2）求出平面MEF的法向量和平面MAF的法向量，由此利用向量法能求出二面角E-MF-A的余弦值．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=1，PA=t（t＞0），
则B（1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，t），
M（

1

2

，0，

t

2

），F（

1

2

，2，0），A（0，0，0），

AB

=（1，0，0），

MF

=（0，-2，

t

2

），
∴

AB

•

MF

=0，∴AB⊥MF．
（2）设PA=BA=1，E（1，1，0），M（

1

2

，0，

1

2

），
F（

1

2

，2，0），A（0，0，0），

MF

=（0，2，-

1

2

），

ME

=（

1

2

，1，-

1

2

），

MA

=（-

1

2

，0，-

1

2

），
设平面MEF的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • ME = 1 2 x+y- 1 2 z=0 m • MF =2x- 1 2 z=0

，取x=1，得

m

=（1，

3

2

，4），
设平面MAF的法向量

n

=（a，b，c），
则

n • MF =2b- 1 2 c=0 n • MA =- 1 2 a- 1 2 c=0

，取a=1，得

n

=（1，-

1

4

，-1），
设二面角E-MF-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

27 8

77 4 • 33 16

=

9 21

77

．
∴二面角E-MF-A的余弦值为

9 21

77

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．