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已知函数f(x)在R上是奇函数,在[a,b](a<b)上是减函数,判断并利用定义证明f(x)在[-b,-a]上的单调性.
考点:奇偶性与单调性的综合
专题:函数的性质及应用
分析:先任取区间上满足-b≤x1<x2≤-a的两个实数,再根据函数f(x)是偶函数,且在[a,b]上是减函数,易判断函数f(x)在[-b,-a]上的单调性.
解答: 解:f(x)在[-b,-a]上单调递减,
任取x1,x2∈[-b,-a],且-b≤x1<x2≤-a,
则a≤-x2<-x1≤b,
∵f(x)在[a,b]上是减函数,∴f(-x2)>f(-x1
又∵f(x)是奇函数,
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1),
∴f(x2)<f(x1),
即f(x)在[-b,-a]上单调递减.
点评:本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合,利用定义法证明函数的单调性是最基本最常用的方法,但对于抽象函数单调性的判断和证明则要多利用函数奇偶性图象对称的性质进行处理.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=tx2-4x-2,
(Ⅰ)当t=1时,求函数f(x)的零点;
(Ⅱ)当t=2且f(x)的定义域为(-1,1),f(1-m)-f(2m-1)<0,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)定义域为R,且在区间(1,2)上为单调递减函数,求实数t取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知曲线C1
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数),直线C2
x=-2
2
+
1
2
t
y=1-
1
2
t
(t为参数),在曲线C1求一点,使它到直线C2的距离最小,并求出该点的直角坐标和最小距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

方程
(x-4)2+y2
+
(x+4)2+y2
=10的化简结果是(  )
A、
x2
5
+
y2
3
=1
B、
x2
3
+
y2
5
=1
C、
x2
25
+
y2
9
=1
D、
x2
9
+
y2
25
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对于x>0满足f(
x
y
)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,试求解不等式f(x+3)-f(
1
x
)<2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是(  )
A、[-1,+∞)
B、[-1,
2
]
C、(0,
2
]
D、(1,
2
+
1
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

f(x)=
2x(x≥0)
x+a(x<0)
是R上的增函数,则a的范围是(  )
A、[1,+∞)
B、(-∞,1]
C、[2,+∞)
D、(-∞,2]

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2
-4lnx+ax在点(1,f(1))处的切线平行于直线6x+y-3=0
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若?x≥1,不等式x+
1
x+1
≥a恒成立,则实数a的取值范围是
 

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