Question

设A（x_A，y_A），B=（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，x_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△_x|+|△_Y|=3，且|△x|•|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．已知（x，y）（xy∈Z）为平面上一个定点，平面上点列{P_i}满足：P_i=i（P_i-1），且点P_i的坐标为（x_iy_i），其中i=1，2，3，…n．
（Ⅰ）请问：点p的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
（Ⅱ）求证：若P与P_n重合，n一定为偶数；
（Ⅲ）若p（1，0），且y_n=100，记T=，求T的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据绝对值的意义，可得整数△_x与△_Y在{±1，±2}中取值，满足绝对值的和等于3，由此可得点P的相关点有8个，再根据圆的标准方程可得这些可能值对应的点在以P（x，y）为圆心，为半径的圆上；
（II）因为P_n（x_n，y_n）与P（x，y）重合，用逐项作差再累加的方法得到等式，再将所得等式相加证出[（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）]=0，结合题意（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）（i=1，2，3，…，n）为奇数，可得左边是n个奇数的和，根据整数加减法的奇偶性质即可得到n一定为偶数；
（II）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1（i=1，2，3，…，n），依题意可得（y_i-y_i-1）=100．由|△x_i|+|△y_i|=3且|△x_i|的|△y_i|都是非零整数，可得当△x_i=2的个数越多，且在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n这个序列中，数字2的位置越靠前，应的T值越大，从而得到当△y_i取值为1或-1的次数最多时，相应地△x_i取2的次数最多，可使T的值最大．然后分n=100、n＞100和50≤n≤100时三种情况加以讨论，分别根据式子中1、2的个数，结合等差数列求和公式算出T关于n的表达式，即可得到T达到最大值时，T关于n的分段函数的表达式，得到本题答案．
解答：解：（Ⅰ）∵|△_x|+|△_Y|=3，（|△x|•|△y|≠0）
∴|△_x|=1且|△_Y|=2，或|△_x|=2且|△_Y|=1，所以点P的相关点有8个…（2分）
又∵（△_x）²+（△_Y）²=3，即（x₁-x）²+（y₁-y）²=5
∴这些可能值对应的点在以P（x，y）为圆心，为半径的圆上…（4分）
（Ⅱ）依题意P_n（x_n，y_n）与P（x，y）重合
则x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+（x_n-2-x_n-3）+…+（x₃-x₂）+（x₂-x₁）+（x₁-x）+x，
y_n=（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+（y_n-2-y_n-3）+…+（y₃-y₂）+（y₂-y₁）+（y₁-y）+y，
因此，可得（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+（x_n-2-x_n-3）+…+（x₃-x₂）+（x₂-x₁）+（x₁-x）=0，
且（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+（y_n-2-y_n-3）+…+（y₃-y₂）+（y₂-y₁）+（y₁-y）=0
两式相加得
[（x_n-x_n-1）+（y_n-y_n-1）]+[（x_n-1-x_n-2）+（y_n-1-y_n-2）]+…+[（x₁-x）+（y₁-y）]=0（*）
∵x_i，y_i都是整数，且|x_i-x_i-1|+|y_i-y_i-1|=3（i=1，2，3，…，n）
∴（x_i-x_i-1）+（y_i-y_i-1）（i=1，2，3，…，n）为奇数，于是（*）的左边就是n个奇数的和，
因为奇数个奇数的和还是奇数，所以左边不可能是奇数项，可得n一定为偶数…（8分）
（Ⅲ）令△x_i=x_i-x_i-1，△y_i=y_i-y_i-1，（i=1，2，3，…，n）
依题意（y_n-y_n-1）+（y_n-1-y_n-2）+…+（y₂-y₁）+（y₁-y）=100，
∵T==x+x₁+x₂+…+x_n=1+（1+△x₁）+（1+△x₁+△x₂）+…+（1+△x₁+△x₂+…+△x_n）
=n+1+n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n）…（10分）
∵|△x_i|+|△y_i|=3，且|△x_i|的|△y_i|都是非零整数，
∴当△x_i=2的个数越多，则T的值越大，
∵在△x₁，△x₂，△x₃，…，△x_n-1，△x_n这个序列中，数字2的位置越靠前，相应的值越大
且当△y_i取值为1或-1的次数最多时，△x_i取2的次数才能最多，T的值才能最大．
∴①当n=100时，令所有的△y_i都为1，且△x_i都取2，得T=101+2（1+2+…+100）=10201．
②当n＞100时，
（i）若n=2k（k≥50，k∈N₊），此时△y_i可取k+50个1，k-50个-1，且△x_i可都取2，S（n）达到最大值
从而 T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]=n²+2n+1．
（ii）若n=2k+1（k≥50，k∈N₊），令△y_n=2，其余的△y_i中有k-49个-1，k+49个1．
相应的，对于△x_i，有△x_n=1，其余的都为2，可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+2+1]-1=n²+2n
③当50≤n≤100时，令△y_i=1，i≤2n-100，△y_i=2，2n-100＜i≤n，
则相应地取△x_i=2，i≤2n-100，△y_i=1，2n-100＜i≤n，
可得T=n+1+2[n+（n-1）+…+（101-n）]+[（100-n）+（99-n）+…+2+1]=（n²+205n-10098）

综上所述，得T=…（13分）
点评：本题给出平面坐标系内“相关点”的定义，讨论了T=的最大值问题．着重考查了绝对值的意义、等差数列的求和公式、方程的整数解和圆的标准方程等知识，属于难题．请同学们注意答过程中逐项作差再累加求和、分类讨论思想和转化化归方法的运用．