Question

已知F₁(-2，0)、F₂(2，0),点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)若直线l过F₂，且与轨迹E交于P、Q两点.

①无论直线l绕点F₂如何转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥QM恒成立，求实数m的值.

②过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别是A、B，记λ=，求λ的取值范围.

Answer 1

解：(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，

由c=2，2a=2，∴b²=3，故轨迹E的方程为x²=1(x≥1).                      

(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，与双曲线方程联立消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0，

∴                                        

①∵=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁-2)(x₂-2)

=(k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²

=+m²+4k²

=+m².                                                         

∵MP⊥MQ，∴=0，

故得3(1-m²)+k²(m²-4m-5)=0对任意的k²＞3恒成立，

∴解得m=-1,∴当m=-1时，MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时，由P(2，3)、Q(2，-3)及M(-1，0)知结论成立，

综上，当m=-1时，MP⊥MQ.                                                   

②∵a=1,c=2，直线x=是双曲线的右准线，                                    

由双曲线定义得：|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|，

方法一：λ=.

∵k²＞3，∴0＜,故＜λ＜，                                      

注意到直线的斜率不存在时，|PQ|=|AB|，此时λ=，

综上，λ∈［).                                                         

方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，

由于直线PQ与双曲线右支有两个交点，

∴＜θ＜，过Q作QC⊥PA，垂足为C，

则∠PQC=|-θ|，

∴λ=.                              

由＜θ＜，得＜sinθ≤1，故λ∈［).