Question

下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是

1. A.
   f（x）=e^x-1
2. B.
   f（x）=x+x^-1
3. C.
   f（x）=x-x^-1
4. D.
   f（x）=-|sinx|

Answer 1

C
分析：先判断函数的奇偶性，再判断函数的零点情况，从而得出结论．
解答：由于函数f（x）=e^x-1，f（-x）=e^-x+1≠-f（x），故函数不是奇函数，故排除A．
由于函数f（x）=x+x^-1 满足f（-x）=-x+（-x）^-1-（x-x^-1）=-f（x），是奇函数，
但方程f（x）=0无解，故不存在零点，故排除B．
由于函数 f（x）=x-x^-1是 满足f（-x）=-x-（-x）^-1=-（x-）=-f（x），是奇函数，
且由f（x）=0 解得x=1，故存在零点x=1，故C满足条件．
由于函数 f（x）=-|sinx|，满足f（-x）=-|sin（-x）|=-|sinx|=f（x），是偶函数，不是奇函数，故排除D，
故选C．
点评：本题主要考查函数零点的定义和判断，函数的奇偶性的判断，属于中档题．