Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若＝3，则k＝________．

Answer 1

k＝

定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．
由已知e＝，所以a＝2b，
所以a＝c，b＝.椭圆方程＝1变为x²＋3y²＝c².
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，又＝3，
所以(c－x₁，－y₁)＝3(x₂－c，y₂)，所以所以
＋3＝c²，①＋3＝c²，②
①－9×②，得(x₁＋3x₂)(x₁－3x₂)＋3(y₁＋3y₂)(y₁－3y₂)＝－8c²，所以×4c(x₁－3x₂)＝－8c²，
所以x₁－3x₂＝－c，所以x₁＝c，x₂＝c.从而y₁＝－c，y₂＝c，
所以A，B，故k＝.