Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值．
（3）求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影．

Answer 1

分析 （1）由已知|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，两边平方后即可求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（2）由（1）中求得的$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，进一步求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$得答案；
（3）直接由向量在向量方向上的投影概念求解．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=4+1-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$；
（2）∵$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=4+2×\frac{1}{2}+1=6$，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$；
（3）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，考查向量在向量方向上投影的求法，是中档题．