【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)记的最大值为
,若
且
,求证:
;
(3)若,记集合
中的最小元素为
,设函数
,求证:
是
的极小值点.
【答案】(1)增区间为,减区间为
;(2)见解析;(3)见解析
【解析】分析:(1)分别解不等式和
可得
的增区间和减区间.
(2),根据
得到
,把该式变形为
,证明函数不等式
在
恒成立即可.
(3)根据(1)中函数的单调性及可得
,因此
,分别讨论函数在
的单调性可判断
是
的极小值点.
详解:(1),
因为由
,得
;
由,得
;
所以,的增区间为
,减区间为
.
(2)由(1)知,.
∴,∴
,
∴,∴
,∴
,
设,则
,
所以,在
上单调递增,
,则
,因
,
故,
,所以
.
(3)由(1)可知,在区间
单调递增,又
时,
,
易知,在
递增,
,
∴,且
时,
;
时,
.
当时,
于是时,
, (所以,若证明
,便能证明
),
记,
则,∵
,∴
,
∴在
内单调递增,∴
,
∵,
∴在
内单调递增.
∴,于是
时,
,
∴在
递减.
当时,相应的
,
∴在
递增.故
是
的极小值点.
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【题目】已知四个命题:
①如果向量与
共线,则
或
;
②是
的充分不必要条件;
③命题:
,
的否定是
:
,
;
④“指数函数是增函数,而
是指数函数,所以
是增函数”此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.
以上命题正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程与直线
的直角坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求
面积的最大值.
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【题目】某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数:①;②
;③
;④
(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;
(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为,人均
为4千美元时,年人均A饮料的销售量为
,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少.
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【题目】北京101中学校园内有一个“少年湖”,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若设音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,某同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是测量的数据的不同方案:①测量∠A,AC,BC;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠C,AC,BC;④测量∠A,∠C,∠B. 其中一定能唯一确定A,B两地之间的距离的所有方案的序号是_______.
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【题目】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A. 新农村建设后,种植收入减少
B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中
组小鼠给服甲离子溶液,
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于
”,根据直方图得到
的估计值为
.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】判断下列命题的真假.
(1)过一条直线的平面有无数多个;
(2)如果两个平面有两个公共点,那么它们就有无数多个公共点,并且这些公共点都在直线
上;
(3)两个平面的公共点组成的集合,可能是一条线段;
(4)两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点.
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【题目】已知动点满足:
(Ⅰ)求动点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)设是轨迹
上的两个动点,线段
的中点
在直线
上,线段
的中垂线与
交于
两点,是否存在点
,使以
为直径的圆经过点
,若存在,求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
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