Question

已知函数．
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时，证明f(x)>0．

Answer 1

（1）m=1(讨论见解析)；
（2）见解析．

(1)．
由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．
于是f(x)=e^x－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．
函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x∈(0，+∞)时， f '(x)>0．
所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．
当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)<0， f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．
当时， f '(x)<0;当时， f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x₀)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．