Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣1时，不等式lnf（x）＞1成立；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：当a=﹣1时，
，
故f（x）的最小值为3，
则lnf（x）的最小值为ln3＞lne=1，
所以lnf（x）＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值不等式可得：
f（x）=|x﹣2|+|x﹣a|≥|（x﹣2）﹣（x﹣a）|=|a﹣2|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，
可得|a﹣2|≥a，解得a≤1，
故a的最大值为1．
【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，从而证出结论即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．