函数的定义是什么?如何判断两个函数是同一个函数呢?如何来表示一个函数呢?请根据条件使用适当的方法来表示函数y=2x2+2x.
(1)求f(1),f(2),f(-1).
(2)不通过求f(1),f(2),f(-1)比较它们的大小.
解:(1)由函数的解析式可以解得:f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0,故可用解析式来表示函数. 由题意列表得: 由上表可知:f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0.故可用列表来表示函数. (2)画出函数y=2x2+2x的图象如图所示. 由函数y=2x2+2x的图象可知,f(-1)<f(1)<f(2). 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种. 1.解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. 2.列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 3.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 点评:对于(1)可选用解析法和列表法.对于(2)通过函数的图象来作比较比较简捷.通过两个问题的解答,归纳出表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种.并让学生体会到各种方法的优越性. |
通过解析式来求函数的值和数形结合的初步接触. |
科目:高中数学 来源:设计必修一数学(人教A版) 人教A版 题型:044
17世纪,科学家们致力于运动的研究,如计算天体的位置,远距离航海中对经度和纬度的测量,炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系,并根据这种关系对事物的变化规律作出判断,如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数产生和发展的背景.
“function”一词最初由德国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中国,清代数学家李善兰(1811~1882)在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代徽积拾级》中首次将“function”译做“函数”.
莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量,如坐标、切线等.1718年,他的学生,瑞士数学家约翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)强调函数要用公式表示.后来,数学家认为这不是判断函数的标准.只要一些变量变化,另一些变量随之变化就可以了.所以,1755年,瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707~1783)将函数定义为“如果某些变量,以一种方式依赖于另一些变量,我们将前面的变量称为后面变量的函数”.
当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯,甚至抱怀疑态度.函数的概念仍然是比较模糊的.
随着对微积分研究的深入,18世纪末19世纪初,人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式.19世纪70年代以后,随着集合概念的出现,函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述,这就是本节学习的函数概念.
综上所述可知,函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关,而且随着研究的深入,函数概念不断得到严谨化、精确化的表达,这与我们学习函数的过程是一样的.
你能以函数概念的发展为背景,谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗?
1.探寻科学家发现问题的过程,对指导我们的学习有什么现实意义?
2.莱布尼兹、狄利克雷等科学家有哪些品质值得我们学习?
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科目:高中数学 来源: 题型:044
平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具.如图,设直线
l的倾斜角为α(α≠90°).在l上任取两个不同的点,,不妨设向量的方向是向上的,那么向量的坐标是().过原点作向量,则点P的坐标是(),而且直线OP的倾斜角也是α.根据正切函数的定义得 ,这就是《数学
2》中已经得到的斜率公式.上述推导过程比《数学2》中的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗?例如:(1)
过点,平行于向量的直线方程;(2)
向量(A,B)与直线的关系;(3)
设直线和的方程分别是 , ,那么,
∥,的条件各是什么?如果它们相交,如何得到它们的夹角公式?(4)
点到直线的距离公式如何推导?查看答案和解析>>
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