Question

（2010•潍坊三模）已知圆心在x轴正半轴上的圆C过双曲线x²-y²=l的右顶点，且被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2

7

，则圆C的方程为（　　）

A．（x-2）²+y²=9

B．（x-2）²+y²=1

C．（x-6）²+y²=25

D．（x-6）²+y²=49

Answer 1

分析：由圆心在x轴正半轴上的圆C过双曲线x²-y²=l的右顶点，设圆心C（x₀，0）（x₀＞0），双曲线x²-y²=l的右顶点A（1，0），双曲线的一条渐近线方程是x=y，圆C被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2

7

，知(x0-1)2-7=

x02

2

，由此能求出圆C的方程．

解答：解：∵圆心在x轴正半轴上的圆C过双曲线x²-y²=l的右顶点，
∴设圆心C（x₀，0）（x₀＞0），
∵双曲线x²-y²=l的右顶点A（1，0），双曲线的一条渐近线方程是x=y，
∴圆C的半径r=

( x0 -1)2

，圆心C（x₀，0）到渐近线x=y的距离d=

|x0|

2

，
∵圆C被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2

7

，
∴(x0-1)2-7=

x02

2

，
解得x₀=6，或x₀=-2（舍），
∴圆心C（6，0），半径r=|CA|=5，
∴圆C的方程（x-6）²+y²=25．
故选C．

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的灵活运用．