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1.已知数列{an}的前n项和Sn,数列{bn}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列,且b4是b2与b6+1的等比中项,bn=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=($\frac{1}{2}$)an,求数列{cn}的前n项和Tn

分析 (1)通过将数列{bn}中的第2、4、6项分别用首项表示出来,利用b4是b2与b6+1的等比中项计算可知b1=$\frac{1}{2}$,进而可知bn=$\frac{n}{2}$,当n≥2时利用an=Sn-Sn-1计算可知an=3n-2,进而可得结论;
(2)通过(1)可知cn=$\frac{4}{{8}^{n}}$,利用等比数列的求和公式计算即得结论.

解答 解:(1)∵数列{bn}是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列,
∴b2=b1+$\frac{1}{2}$,b4=b1+$\frac{3}{2}$,b6=b1+$\frac{5}{2}$,
又∵b4是b2与b6+1的等比中项,
∴${{b}_{4}}^{2}$=b2(b6+1),即$({b}_{1}+\frac{3}{2})^{2}$=$({b}_{1}+\frac{1}{2})$$({b}_{1}+\frac{5}{2}+1)$,
解得:b1=$\frac{1}{2}$,
∴bn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{n}{2}$,
∵bn=$\frac{{S}_{n}}{3n-1}$(n∈N*),
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=$\frac{n}{2}$•(3n-1)-$\frac{n-1}{2}$•(3n-4)=3n-2,
又∵a1=2b1=1满足上式,
∴an=3n-2;
(2)由(1)可知cn=($\frac{1}{2}$)an=$\frac{1}{{2}^{3n-2}}$=$\frac{4}{{8}^{n}}$,
∴Tn=4•$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{8}^{n}})}{1-\frac{1}{8}}$=$\frac{16}{7}$-$\frac{2}{7}$•$\frac{1}{{8}^{n-1}}$.

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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